Piaget is van mening dat biologische rijpingsproces en de interactie tussen de omgeving en een individu een belangrijk aspect is, het adaptieproces. Volgens Piaget et. al. (1965) zijn er vier voorwaarden om tot getallenbegrip te komen. Er zijn twee psychologische voorwaarden en deze zijn: conservatie en correspondentie. Daarnaast zijn er twee kernvaardigheden die nodig zijn als voorbereiding om getalbegrip te ontwikkelen. (Piaget & Szeminska, 1941). Deze kernvaardigheden zijn: classificeren en seriatie.
Conservatie houdt in dat bijvoorbeeld het kind inzicht heeft dat de hoeveelheid water van een breed glas overgegoten in smal glas dezelfde blijft. De kinderen begrijpen dat de hoeveelheden, inhoud, gewicht en volume hetzelfde blijft ook als er iets veranderd aan de vorm. Het kind kan zijn innerlijke denkbeweging omkeren dus het kind kan reversibel denken. Daarnaast is het kind eveneens in staat tot compensatie dit betekent dat men ziet dat de vormkenmerken gelijk zijn als deze met elkaar kunnen compenseren.
Corrrespondentie is dat het kind hoeveelheden kan vergelijken en begrijpt dat er evenveel blokjes zijn als cirkels. Dit kan door de 1/1 relatie toe te passen en is een voorwaarde om tot classificatie, seriatie en concreet operationeel denken te komen.
Classificatie houdt in dat het kind elementen kan groeperen op basis van ‘?n of meerdere eigenschappen. Binnen classificatie zijn er drie klassen waaraan steeds hogere eisen worden gesteld. Als eerst fase heeft men de figuratieve verzameling. Het kind maakt een concrete voorstelling. De tweede fase heeft men de non-figuratieve samenstelling. Hier kan het kind groeperen volgens ‘?n overeenkomstige eigenschap. De derde fase inclusie van klassen. Hier kan het kind groeperen volgens meerder overeenkomstige eigenschappen bijvoorbeeld alle blauwe cirkels bij elkaar.
Seriatie houdt in dat het kind de elementen kan rangschikken op basis van ‘?n of meerder kenmerken. Binnen seriatie zijn er drie klassen. Als eerste fase heeft men het paarsgewijs denken. Het kind vergelijkt twee elementen maar verliest de totaliteit uit het oog. De tweede fase: is empirisch zoeken om tot seri??ren te komen, het kind kan als zoekend seri??ren of het kind gaat experimenterend twee elementen seri??ren. Als derde fase is er het trasitief niveau. In deze fase beheers het kind het seri??ren volledig. Deze vaardigheden die Piaget beschrijft moet het kind geleidelijk aan verwerven en ook co??rdineren, zodat het kind het getalconcept kan beheersen (Gr??goire, Van Nieuwenhoven & No??l, 2004). In het onderzoek van Bouwers & Van Goor, (1999) blijkt dat de Piagetiaanse rekenvoorwaarden niet de enige voorwaarden zijn om tot getalbegrip te komen. Daarnaast moet men volgens Seasen (2005) ook rekening houden met andere theorie??n omtrent de ontwikkeling in rekenen. Bovendien is er veel kritiek op het model van Piaget volgens Desoet (2014) is een van de kritieken het verwaarlozen van het tellen tijdens het ontwikkelen van rekenvaardigheden. Vervaet (2015) geeft aan in zijn artikel dat er kritiek is in het verloop van leeftijdsfasen. Dit zou volgens sommige psychologen weinig wetenschappelijk onderbouwd zijn en kloppen deze fases niet. Door het gebrek aan eenduidigheid omtrent Piagetiaanse vaardigheden wordt er niet meer over ‘rekenvoorwaarden’ gesprokenen, maar over ‘voorbereidende vaardigheden’. Naast de kritische noot die men op het model van Piaget heeft, blijft zijn model een belangrijk model, ook al is het model niet optimaal binnen de recente onderzoeken rond de ontwikkeling naar rekenen. (Desoete, 2004).
In de neo-plagetiaanse model worden de Piagetiaanse vaardigheden als voorbereidende rekenvaardigheden gebruikt deze bevatten meer elementen dan in het Piagetiaans model. Het Piagetiaanse model bevat enkel de elementen classificatie, seriatie en conservatie. Desoete et. al. (2013) vult daarbij nog aan dat maatbegrip, tellen, subitizeren, translatie, rekenbegrip en rekentaal eveneens belangrijke rekenvoorwaarde zijn. Maatbegrip houdt in dat het kind inzicht heeft in bijvoorbeeld verschillende hoeveelheden en deze met elkaar kan vergelijken. Subitizeren is een belangrijke vaardigheid om snel te kunnen vergelijken. Translatie betekent dat het kind een getal snel kan omzetten bijvoorbeeld van een cijfer naar het woord. Voorbereidende rekenvaardigheden zijn vaardigheden die men nodig heeft om tot volledig getalenbegrip te komen.) Desoete et. al. (2013)
Bij het tellen is er zowel conceptuele als procedurele kennis nodig. Conceptuele kennis is kennis van het tellen en procedurele kennis is het kennen van een telrij (LeFevre et al., 2006; De Soethe 2014). Het is noodzakelijk om eerst de kennis te hebben in de concepten vooraleer men procedurele kennis heeft. Indien men procedurele kennis zou aanleren zonder kennis te hebben van de concepten leidt dit tot fouten (Van de Walle, 2007). Stock et al. (2007) vinden dat zowel de conceptuele en procedure kennis voorspellers kunnen zijn voor het rekenen. Conceptuele kennis zou aansluiten bij rekenfeiten en automatiseren. Procedurele kennis sluit aan bij hoofdrekenen en getallenkennis. In het onderzoek Stock et al. (2009) blijkt dat vooral procedurele kennis een belangrijke rol spelen bij het voorspellen van verdere rekenvaardigheden.
De procedurele kennis gaat om de kennis van het tellen dit evolueert in vijf fases. De eerste fase is het akoestisch tellen hier kunnen de kinderen de getalenrijen memoriseren en reproduceren, bijvoorbeeld gewoon opzeggen zoals men een lied zingt. De tweede fase is asynchroon tellen. Bij deze fase tellen kinderen de voorwerpen willekeurig en tellen sommige voorwerpen twee keer. De derde fase is het synchroon tellen. Hier tellen de kinderen juist. Ze passen bij elke voorwerp dat ze tellen de 1/1 relatie toe. De vierde fase is het resultatief tellen. In deze fase kunnen de kinderen zeggen hoeveel voorwerpen ze geteld hebben. De kinderen zijn immers bewust dat het eindgetal de eindhoeveelheid is van de getelde voorwerpen. De vijfde fase is het verkort tellen. Bij deze fase kunnen de kinderen per twee sprongen tellen. (Ruijssenaars et al., 2004)
Het beheersen van de procedure kennis van het tellen verloopt eveneens in vijf stappen.
De eerste stap is het niveau van de daarbij kunnen kinderen getalwoorden produceren, die aan elkaar zijn geplakt en dus de woorden zijn niet te onderscheiden van elkaar. Stap twee is het niveau van de niet-opdeelbare lijstwoorden. Hier kunnen de kinderen enkel tellen vanaf ‘?n. De kinderen kunnen nog niet, bijvoorbeeld, tellen vanaf vier.
In stap drie is het niveau van deelbare ketting dit betekent dat kinderen een getalrij zeggen met een bepaalde benedengrens. Op die manier kunnen de kinderen synchroon tellen. In stap vier heeft men het niveau van de telketting. De kinderen kunnen in deze stap de telrij opzeggen met een opgegeven onder- en bovengrens. Als laatste stap, twee-richting ketting hier kunnen de kinderen met sprongen van twee tellen. Daarbij kunnen de kinderen doortellen met een opgegeven bovengrens en in omgekeerde volgorde tellen en terugtellen. (Fuson, Richards, & Briars, 1982; Desoete 2015)
Volgens Gelman & Gallistel (1978) zijn er vijf impliciete principes die een invloed hebben bij het ontwikkeling van de conceptuele kennis. De eerste principe is de principe van de stabiele volgorden bijvoorbeeld de volgorde van de telrij 1,2,3’blijft hetzelfde. De tweede principe is de ‘?n-op-‘?n correspondentie, bijvoorbeeld het voorwerp moet 1 keer geteld worden. De derde principe is de kardinaliteit, het kind is bewust dat het laatste getalwoord de hoeveelheid aangeeft. Bij de vierde principe de irrelevante volgorde principe, respecteert het kind de eerste drie principes. Door deze drie principes te respecteren maakt het niet uit in welke volgorde het kind telt. Het kind is bewust dat het niet uitmaakt in welke volgorde hij telt om een eindhoeveelheid te bepalen. Tot slot is er nog het abstractieprincipe dat betekent dat kinderen voorwerpen als ‘?n groep kunnen zien door eigenschappen die verschillend zijn te negeren. Op die manier kunnen kinderen heterogenen verzamelingen tellen. (Gelman & Gallistel 1978; Desoete 2014).
Het is noodzakelijk om een goed getallenbegrip en telvaardigheden te hebben. Vooraleer men complexe rekenvaardigheden kan ontwikkelen op later leeftijd Aunio & Niemivirta (2010); LeFevre et al 2006; Desoete, Stock, Schepens, Baeyens, & Roeyens, 2009). Het is belangrijk om aan een aantal cognitieve voorwaarden te voldoen vooraleer het kind goed kan rekenen. De voorwaarde zijn getalgevoeligheid, voorbereidende rekenvaardigheden en getalbegrip in here…