Essay: In dit verslag probeer ik een antwoord te geven op de vraag…

Inleiding
In dit verslag probeer ik een antwoord te geven op de vraag hoe ver wiskundigen staan met het vermoeden van Goldbach en specifieker in hoeverre een bewijs voor dit vermoeden mogelijk is. Een wiskundig bewijs geldt voor de eeuwigheid en moet altijd kloppen, tot in het oneindige. Dat is het mooie, maar ook het lastige aan de wiskunde, want het opstellen van een bewijs wordt zo veel moeilijker. Zo kunnen schijnbaar simpele stellingen bewijzen opleveren van ettelijke tientallen pagina’s lang. Een stelling kan dan al intu??tief juist lijken, zolang er geen bewijs voor is, wordt het door wiskundigen niet aangenomen en blijft het voor hen een vermoeden. Het beste voorbeeld hiervan is zonder twijfel het vermoeden van Goldbach, een van de oudste, onopgeloste problemen in de wiskunde. Het is daarom ook niet onlogisch dat deze beroemde theorie reeds opgedoken is als onderwerp in boeken, zoals Oom Petros En Het Vermoeden Van Goldbach, waarin het vermoeden, maar vooral de eindeloze zoektocht ernaar beschreven wordt. Als publicatiestunt voor dit boek, beloofde de uitgever zelfs een geldprijs van $ 1.000.000 aan diegene die een bewijs kon leveren. De geldprijs werd niet uitgereikt’ Tot op heden is zelfs nog niemand erin geslaagd het vermoeden te bewijzen. Ik probeer in dit eindwerk dan ook niet een bewijs te formuleren voor het vermoeden, maar wel de methodiek van de wiskundigen zo grondig mogelijk te analyseren. Voordat echter dieper op het vermoeden ingegaan kan worden, kan ik beter eerst aanhalen wat het precies inhoudt. Het vermoeden luidt als volgt:
‘Elk even geheel getal groter dan 2 kan uitgedrukt worden als een som van 2 priemgetallen.’
Dit vermoeden kan snel voorgesteld worden met een voorbeeld. Neem het getal 8, dat geschreven kan worden als 3 + 5, waarbij 3 en 5 priemgetallen zijn. Zo blijkt het vermoeden niet alleen voor kleine getallen, maar ook voor zeer grote waarden te kloppen. Tegenwoordig geloven de meeste wiskundigen dat het vermoeden waar is, alhoewel ze het niet kunnen bewijzen. Vooreerst zal ik in dit verslag het begrip herhalen waarrond dit vermoeden draait, namelijk de priemgetallen. Deze getallen zijn nog steeds niet voldoende begrepen en vormen de sleutel tot een uiteindelijk bewijs. Naderhand worden de argumenten, met name uit de kansrekening, die het vermoeden rechtvaardigen, uitgelegd. Ook zullen de stellingen die wiskundigen gebruikten bij hun onderzoek naar het vermoeden, nader verklaard worden, zodat hun verband met het vermoeden duidelijker wordt. Door deze stellingen zijn wiskundigen erin geslaagd betere resultaten te verkrijgen, die uiteindelijk misschien de puzzel af kunnen maken. Daarnaast heeft men ook geprobeerd met behulp van de computertechnologie het vermoeden te checken voor de verzameling van de natuurlijke getallen. Helaas kunnen computers niet zelf het bewijs vormen voor deze stelling. Ondanks alle inspanningen geleverd door mens en computer, blijft een vast bewijs de wiskundige wereld dus nog schuldig.[ ][ ]
‘
Priemgetallen
Zoals duidelijk blijkt, draait het vermoeden van Goldbach rond priemgetallen. Daarom even een korte herhaling van dit begrip. Een priemgetal is gedefinieerd als een natuurlijk getal dat groter is dan 1 en enkel deelbaar door zichzelf en door 1. Universeel heeft men afgesproken dat 1 niet als priemgetal wordt beschouwd. Het kleinste voorbeeld van een priemgetal is dus 2, want 2 is enkel deelbaar door 1 en door zichzelf. 33 is daarentegen geen priemgetal, want 33 is deelbaar door 1, 3, 11 en 33. Als een getal geen priemgetal is en groter is dan 1, dan noemt men het een samengesteld getal. In het begin van 2013 had het grootste priemgetal 17.425.170 cijfers. Priemgetallen kennen ook praktische toepassingen. Ze worden bijvoorbeeld gebruikt in de informatica, onder andere bij het beveiligen van digitale informatie.
Priemgetallen werden reeds vroeg door de Grieken bestudeerd. Zo had Eratosthenes een manier gevonden om priemgetallen te ‘zeven’ uit een bepaald rooster van getallen. Daarom heet deze methode ook de zeef van Eratosthenes (zie fig. 1). Het is de oudste manier om deze getallen op te sporen. Door het uitsluiten van de getallen die deelbaar zijn door 2, 3, 4′ enz. worden de priemgetallen zichtbaar in het rooster. Als de priemgetallen geordend worden volgens grootte, dan ontstaat de volgende rij:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31′ enz.
Er is nog geen formule gevonden die deze rij juist weergeeft en dus blijft de verdeling van de priemgetallen tot nu toe onbekend. Met de verdeling bedoelt men hoe de priemgetallenrij zich bij grotere waarden statistisch gaat gedragen. Als eerste bevinding werd de priemgetalstelling gevonden. Deze stelling geeft een ruwe beschrijving van de ligging van grote priemgetallen ten opzichte van elkaar. Tegen het einde van de 19e eeuw werd een bewijs opgesteld voor deze stelling. De Riemann-hypothese daarentegen geeft een minder ruwe verklaring voor die verdeling. Deze veronderstelling dateert van 1859 en blijft onbewezen.[ ]

Men is wel achter enkele kenmerken van de priemgetallenrij gekomen. Euclides heeft bijvoorbeeld aangetoond dat het aantal priemgetallen oneindig is. Een andere eigenschap van deze rij is dat elk natuurlijk getal groter dan 1 geschreven kan worden als een uniek product van priemgetallen. Een voorbeeld: 26 = 2 x 13 en 27 = 3 x 3 x 3. Zo kan men oneindig lang verdergaan en ieder getal zou slechts op ‘?n manier geschreven kunnen worden als een product van priemgetallen. Deze eigenschap wordt de hoofdstelling van de rekenkunde genoemd. Volgens Bellos (2010) is deze eigenschap de reden waarom priemgetallen beschouwd worden als de onzichtbare bouwblokken van het systeem van natuurlijke getallen. Ondanks intensieve studie staan er nog vele fundamentele en vooral uitdagende vragen met betrekking tot priemgetallen open. Zo blijft, zoals reeds vermeld, het vermoeden van Goldbach, al meer dan een eeuw onbewezen, ondanks de ogenschijnlijke eenvoud van deze uitspraak. Vele wiskundigen hebben reeds getracht de mysteri??n rond priemgetallen te ontrafelen, meestal zonder succes.[ ]
‘
Geschiedenis
Christian Goldbach
De man die het vermoeden vastgesteld had, was Christian Goldbach. Hij werd op 18 maart 1690 geboren in K??nigsberg, gelegen in het huidige Rusland. Tegenwoordig heet deze stad Kaliningrad. Goldbach was de zoon van een dominee en studeerde rechten. Daarnaast was hij gepassioneerd door de wiskunde en vooral door de getallentheorie. Niet verwonderlijk dus dat hij in 1725 hoogleraar wiskunde en geschiedenis werd. In 1728 werd hij in Moskou zelfs de persoonlijke leraar van Peter II, de aanstaande tsaar. Naast zijn wiskundig werk reisde Goldbach veel, onder meer door Oostenrijk, Itali?? en Noord-Europa. Op zijn omzwervingen leerde hij vele andere wiskundigen kennen, onder wie De Moivre en Leibniz. In St-Petersburg ontmoette hij Leonhard Euler en Daniel Bernoulli. Met al deze tijdgenoten voerde hij een uitgebreide correspondentie. Zijn vermoeden werd zelfs vermeld in een brief van hem aan Leonhard Euler (zie fig. 2). Euler zag het vermoeden als waar, maar kon het zelf niet bewijzen. Goldbach onderzocht, behalve zijn vermoeden, ook oneindige rijen, vergelijkingen en krommen. Op 20 november 1764 overleed hij in Moskou.[ ]

Vermoeden(s) van Goldbach
Men veronderstelt meestal dat het vermoeden van Goldbach slechts ‘?n stelling omvat, maar dit is niet helemaal correct. In de brief die Goldbach schreef op 7 juni 1742 aan Leonhard Euler, stelt hij verschillende vermoedens voor. Het eerste vermoeden was als volgt:
Elk geheel getal dat geschreven kan worden als een som van 2 priemgetallen, kan ook geschreven worden als een som van eender welk aantal priemgetallen, totdat alle termen eenheden zijn.
Deze stelling staat bekend als het eerste vermoeden van Goldbach. Goldbach beschouwde 1 als een priemgetal, een overeenkomst die tot op vandaag nog steeds betwist wordt. In dit werkstuk neem ik daarom aan dat 1 geen priemgetal is. Daarna stelde hij ook een tweede vermoeden voor in de marge van zijn brief:
Elk geheel getal groter dan 5 kan geschreven worden als een som van 3 priemgetallen.
Dit staat dan weer bekend als het tweede of marginale vermoeden van Goldbach. Euler antwoordde in een brief op 30 juni 1742 en schreef dat Goldbach’s vermoeden volgde vanuit de volgende stelling:
Elk even, geheel getal groter dan 2 kan geschreven worden als een som van 2 priemgetallen.
Deze stelling, die door Euler werd voorgesteld, wordt het derde vermoeden van Goldbach genoemd. Deze versie is de vorm waarin het vermoeden tegenwoordig gewoonlijk is uitgedrukt en is gekend als het sterke Goldbachvermoeden. In symbolen wordt dit vermoeden:
“‘ n ‘ N; ‘ a,b,c,d ‘ Z; ‘ p,q ‘ N: p + q = 2n ”
“met n,a,b,c,d > 1 en ab ‘ p en cd ‘ q” . Het tweede en derde vermoeden zijn equivalent aan elkaar. Het bewijs voor die equivalentie wordt in 2.2.1 gegeven. Het derde vermoeden impliceert ook een andere stelling, die als volgt gaat:
Alle oneven getallen groter dan 5 zijn gelijk aan een som van 3 priemgetallen.
Deze stelling wordt het zwakke Goldbachvermoeden genoemd. Terwijl dit vermoeden uiteindelijk bewezen is in 2013, blijft de sterke Goldbachstelling noch steeds onbewezen. Als de sterke Goldbachstelling waar blijkt te zijn, dan is de zwakke Goldbachstelling waar door implicatie.[ ]

Equivalentie van het tweede en derde Goldbachvermoeden[ ]
Hoewel het tweede en derde vermoeden van Goldbach op twee verschillende vermoedens lijken, zijn ze toch equivalent. Het bewijs van die equivalentie kan vlug geleverd worden.

Neem aan dat het tweede vermoeden van Goldbach waar is en dat elk geheel getal groter dan 5 geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen. Stel daarna dat N gelijk is aan een even getal groter dan 2. Daar het getal N + 2 minimaal gelijk is aan 6 = 2 + 4, is dit getal sowieso groter dan 5. Dus geldt er dat dit getal geschreven kan worden als een som van 3 priemgetallen:
N + 2 = p1 + p2 + p3
waarbij p1, p2 en p3 priemgetallen zijn met p1 ‘ p2 ‘ p3. Deze priemgetallen kunnen niet allemaal tegelijkertijd oneven zijn, want dan zou N + 2 ook oneven zijn. Aangezien 2 het enige even priemgetal is geldt dan p1 = 2:
N + 2 = 2 + p2 + p3
Door het schrappen van het getal 2 in beide leden, bekomt men:
N = p2 + p3
Dus eender welk even getal N groter dan 2 kan geschreven worden als een som van 2 priemgetallen, zoals gesteld is in het derde vermoeden. Omgekeerd geldt dit ook. Als het derde vermoeden waar is, dan kan ieder even getal groter dan 2 geschreven worden als een som van 2 priemgetallen. Als N een willekeurig getal groter dan 2 is, zijn er twee mogelijkheden:
N is even, dan is N ‘ 2 ook even en groter dan 2 en dus een som van twee priemgetallen:
N ‘ 2 = p1 + p2
N = 2 + p1 + p2
N is oneven, dan is N ‘ 3 even en groter dan 2, en dus een som van twee priemgetallen
N ‘ 3 = p1 + p2
N = 3 + p1 + p2
N kan dus in beide gevallen geschreven worden als een som van 3 priemgetallen en dus zijn de formuleringen equivalent.

Goldbachgetal[ ]
Een Goldbachgetal is een even positief geheel getal dat uitgedrukt kan worden als een som van 2 priemgetallen. Een andere bewering van het vermoeden van Goldbach is dus dat alle even, natuurlijke getallen, groter dan 2, Goldbachgetallen zijn. De uitdrukking van een gegeven even getal als een som van twee priemgetallen wordt een Goldbachpartitie van dat getal genoemd. Hieronder zijn voorbeelden gegeven van de Goldbachpartities van enkele even getallen 2n:

n 2n GOLDBACHPARTITIES AANTAL MOGELIJKHEDEN
1 2 2 kan niet geschreven worden als een dergelijke som, omdat 1 geen priemgetal is 0
2 4 4 = 2 + 2 1
3 6 6 = 3 + 3 1
4 8 8 = 3 + 5 1
5 10 10 = 3 + 7 = 5 + 5 2
6 12 12 = 5 + 7 1
7 14 14 = 3 + 11 = 7 + 7 2
8 16 16 = 3 + 13 = 5 + 11 2
‘ ‘ ‘ ‘

Uit de bovenstaande tabel blijkt dat het aantal Goldbachpartities van een bepaald even getal 2n nogal kan verschillen. Het aantal mogelijkheden om 2n te schrijven als een som van 2 priemgetallen, waarbij n start bij 1, is dus:
0, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 2, 3, 2, 4, 4, 2, 3, …
Als men deze rij verderzet tot grotere waarden, komt men tot de volgende vaststelling, die het vermoeden van Goldbach aannemelijker maakt. Deze vaststelling is te zien op onderstaande afbeelding (zie fig. 3). Op deze grafieken zijn het aantal manieren weergegeven om een bepaald even getal te schrijven als een som van twee priemgetallen. Uit de grafiek blijkt dat voor grotere waarden van n er verschillende en steeds meerdere manieren zijn om n te schrijven als een dergelijke som. In de linkse grafiek zijn het aantal manieren weergegeven als 4 ‘ n ‘ 1.000 en in de rechtse grafiek voor 4 ‘ n ‘ 1.000.000. Helaas kan deze grafiek niet dienen als doorslaggevend bewijs.[ ]

‘
Wiskundige methodiek
In dit hoofdstuk wordt dieper ingegaan op de methodes en de stellingen die wiskundigen gebruikten in hun zoektocht naar een bewijs voor het vermoeden. Ook worden de argumenten verklaard die het vermoeden rechtvaardigen voor voldoende grote waarden.

Verdeling van priemgetallen
De priemgetallen-telfunctie[ ]
Het vermoeden van Goldbach kan beter begrepen worden, als de rij van priemgetallen beter gekend is. Dit vormt een nieuw probleem. De ordening van de priemgetallen lijkt namelijk nogal chaotisch. Als men de rij in een figuur probeert voor te stellen, lijkt het hopeloos om een logische verklaring te zoeken voor de verdeling ervan. In fig. 4 is de verdeling van de eerste 1000 priemgetallen weergegeven.

Maar toch zit er een zekere orde in deze rij. Dat is duidelijker te zien, wanneer de priemgetallen grafisch worden weergegeven. Dit levert de functie ??(x) op, die de priemgetallen-telfunctie genoemd wordt (zie fig. 5). Deze functie geeft het aantal priemgetallen weer dat kleiner of gelijk is aan x. Zo is ??(10) bijvoorbeeld gelijk aan 4, omdat er 4 priemgetallen zijn kleiner of gelijk aan 10, namelijk 2, 3, 5 en 7.

Deze grafiek lijkt op het eerste zicht een trapfunctie te zijn, maar wanneer men de grafiek voor grotere waarden bekijkt, begint de grafiek langzaam te hellen.

De logaritmische integraal[ ]
De wiskundige Gauss was ook achter de helling van ??(x) gekomen en probeerde deze grafiek te benaderen met een simpele formule. Hij kwam tot de conclusie dat de grafiek van de functie “1” /”ln x” over het algemeen goed overeenkwam met de helling of de richtingsco??ffici??nt van ??(x). Meer bepaald wilt dit zeggen dat de afgeleide functie van ??(x) ongeveer overeenkomt met “1” /”ln x” . Dus er geldt:
“d??” /”dx” “= ” (“lim” )'”‘x’0″ ”(“??” (“x + ‘x” ) “- ??(x)” )/”‘x” ‘ ” ‘ ” “1” /”ln” ‘”x”

Als de functie f(x) de priemgetallen-telfunctie ??(x) goed benadert dan geldt dat:
“df” /”dx” = “d??” /”dx” ” ‘ ” “1” /”ln” ‘”x”

Nu moet nog de integraal van beide leden genomen worden met de veronderstelling dat f(x) differentieerbaar is. Zo bekomt men f(x):
“f(x) = ” ‘_”2″ ^”x” ””1″ /”ln” ‘”t” “dt” ‘

Het getal 2 werd als ondergrens gekozen, omdat f(2) = 0. Dit is het geval, omdat 2 het kleinste priemgetal is. De functie f(x) is gekend als de logaritmische integraal en wordt genoteerd als Li(x). In figuur 6 staan ??(x) en Li(x) beiden weergegeven en blijkt dat ze vrij goed overeenkomen.

Hoe goed ze ook met elkaar overeenstemmen, exact hetzelfde zijn de grafieken niet. De verschilfunctie Li(x) – ??(x) varieert enorm, zoals te zien is in fig. 7, maar het verschil blijft toch relatief klein.

Als de verschilfunctie Li(x) – ??(x) beter gedefinieerd of benaderd kon worden, dan zou de verdeling van de priemgetallen geen geheimen meer bevatten. De procentuele fout (PF) is gelijk aan:
“PF =” “Li(x) – ??(x)” /”Li(x)” ” = 1 – ” “??(x)” /”Li(x)”

Vele wiskundigen waren in de veronderstelling dat de relatieve fout naar nul gaat als x oneindig groot wordt. De procentuele fout wordt dan:
‘(“lim” )'”x”” ‘”PF” “=” (“lim” )'”x”” ”(“1 – ” “??(x)” /”Li(x)” ) = 0
(“lim” )'”x”” ‘”1″ “-” (“lim” )'”x”” ””??(x)” /”Li(x)” ‘ = 0
(“lim” )'”x”” ””??(x)” /”Li(x)” ‘ = 1

Dit impliceert dat Li(x) en ??(x) bij zeer grote waarden van x overeenkomen.

Priemgetalstelling[ ]
Uit verder onderzoek van Gauss bleek ook dat “??(x)” recht evenredig is met “x” /”ln” ‘”x” . De priemgetalstelling stelt daarenboven dat de limiet van het quoti??nt van deze functies gelijk wordt aan 1 ofwel dat “x” /”ln” ‘”x” nadert tot” ??(x)” , wanneer x oneindig groot wordt, Dit wordt als volgt genoteerd:
(“lim” )'”x”” ””??(x)” /(“x” /”ln” ‘”x” )’ = 1

Deze formule is gekend als de asymptotische verdelingswet van de priemgetallen. In fig. 7 staan “??(x)” in het paars en “x” /”ln” ‘”x” in het groen weergegeven.

Grafische benaderingen van “??(x)”
Op onderstaande figuur staan de benaderingen van de priemgetallen-telfunctie “??(x)” weergegeven. De rode lijn stelt “??(x)” voor, de blauwe lijn de logaritmische integraal en de groene lijn “x” /”ln” ‘”x” . De beste benadering van “??(x)” blijkt uit ervaring Li(x) te zijn. Ondanks deze benaderingen blijft de verdeling van priemgetallen nog steeds een raadsel, omdat het exacte functievoorschrift van “??(x)” nog steeds niet gevonden is.[ ]

Argumenten uit de kansrekening[ ]
Aangezien de wiskunde nog geen sluitend bewijs heeft gevonden voor het vermoeden van Goldbach, probeert men nu wiskundige argumenten te vinden die het vermoeden steunen. Deze argumenten zijn vooral gebaseerd op de waarschijnlijke verdeling van de priemgetallen en ze geven informeel bewijs dat de stelling juist is voor voldoende grote natuurlijke getallen zowel in zwakke als in sterke vorm. Hoe groter het natuurlijk getal, hoe meer manieren er zijn om dit getal te schrijven als een som van 2 of 3 andere getallen, en hoe waarschijnlijker het wordt dat ten minste een van deze sommen volledig bestaat uit priemgetallen.

Dit argument kan voor het sterke Goldbachvermoeden op een zeer grove manier voorgesteld worden. We schrijven een willekeurig natuurlijk getal n als een som van twee getallen, nl. “m” en “n ‘ m” :
“n = m + (n – m) = n”

Hierbij is n een groot, even natuurlijk getal en m een getal tussen 3 en “n” /”2″ . De priemgetalstelling beweert dat een willekeurig gekozen natuurlijk getal m een grove kans heeft van “1” /”ln” ‘”(m) ” om een priemgetal te zijn. De kans dat n ‘ m een priemgetal is, is dan gelijk aan “1” /”ln” ‘”(n – m) ” . Door het vermenigvuldigen van deze kansen verkrijgen we de kans dat n en n ‘ m tegelijkertijd priemgetal zijn, nl. “1” /”ln” ””(m)” “‘ ln” ‘”(n – m)” ‘ . Door het volgen van deze redenering, kwam men erachter dat het totale aantal manieren om een groot natuurlijk getal n te schrijven als een som van twee priemgetallen a en b, waarbij a = m en b = n ‘ m, grof gelijk is aan:
‘_”3″ ^(“n” ‘”2″ )'”1″ /(“ln” ‘”(m)” ‘ “ln” ‘”(n – m)” ) “‘” “n” /(“2″ ‘”ln” ‘^”2″ ‘”(n)” )

Het bewijs hiervan laten we weg, omdat het ons te ver zou leiden. Aangezien deze som tot oneindig gaat als n groter wordt, verwachten we dat elk groot even natuurlijk getal niet enkel ‘?n representatie heeft als een som van 2 priemgetallen, maar in feite veel meer van deze representaties. Dit argument werd reeds gemodelleerd op blz. 12 in de grafieken, waaruit blijkt dat het aantal mogelijkheden om n te schrijven als 2 priemgetallen steeds groter wordt, naarmate n toeneemt tot oneindig. Dit argument geeft dus aan dat het Goldbachvermoeden steeds waarschijnlijker wordt voor voldoende grote waarden van n.

Stelling van Vinogradov
Goldbach formuleerde naast zijn sterke vermoeden ook een zwakker vermoeden, dat stelt dat ieder oneven getal groter dan 5 geschreven kan worden als een som van drie priemgetallen. Een gelijkaardige stelling werd geformuleerd door Ivan Vinogradov: elk voldoende groot, oneven getal kan geschreven worden als een som van drie priemgetallen. Deze stelling werd genoemd naar Ivan Vinogradov, die hem in 1937 bewees. Het zwakke vermoeden van Goldbach wordt ook aangetoond door het bewijs van deze stelling op een eindig aantal uitzonderingen na.[ ][ ]

Stelling van Chen
De stelling van Chen beweert dat elk voldoende groot, even geheel getal geschreven kan worden als een som van twee priemgetallen of van een priemgetal en een semipriemgetal. Een semipriemgetal is gedefinieerd als het product van twee priemgetallen. De wiskundige Chen Jingrun bewees deze stelling in 1966 en in 1973 publiceerde hij een gedetailleerdere versie van zijn bewijs. De Chen-stelling is een belangrijke pijler van een bewijs voor het Goldbachvermoeden.[ ]
‘
Verloop van het onderzoek
Het zwakke vermoeden van Goldbach
Het is duidelijk dat het vermoeden van Goldbach niet bewezen kan worden in een paar simpele stappen. Het sterke vermoeden van Goldbach blijkt zelfs veel moeilijker te zijn om te bewijzen dan het zwakke vermoeden. Het onderzoek naar het zwakke vermoeden kan als volgt samengevat worden.

In 1923 lieten Hardy en Littlewood zien dat het zwakke Goldbachvermoeden waar is voor alle voldoende grote, oneven getallen. Dit konden ze aantonen door een veralgemening van de Riemann-hypothese[ ]. De wiskundige Vinogradov bewees daarentegen in 1937 dat alle voldoende grote, oneven getallen geschreven kunnen worden als een som van drie priemgetallen zonder gebruik te maken van de Riemann-hypothese. Met voldoende groot wordt hier ieder getal bedoeld groter dan “3” ^(“3″ ^”15” ). Dit is een zeer grote grens, zodat het bijna onmogelijk is om alle getallen onder deze waarde te checken. In 2002 konden twee wiskundigen, verbonden aan de Universiteit van Hong Kong, deze grens verlagen tot alle getallen “n > ” “e” ^”3100″ ” ‘ 2 x ” ‘”10″ ‘^”1346″ . Deze grens was nog steeds te hoog om met computers te checken. Computerchecks hadden tot dan toe waarden bereikt tot 1018, een waarde die nauwelijks in de buurt kwam van de voorgestelde grens. In 1997 wisten verschillende wiskundigen aan te tonen dat de veralgemeende Riemann-hypothese het zwakke Goldbachvermoeden impliceert voor alle getallen groter dan 1020. De getallen onder deze waarde werden ongeveer gelijktijdig gecheckt met computers. Dankzij de Riemann-hypothese wist Leszek Kaniecki aan te tonen dat elk oneven getal geschreven kan worden als een som van hoogstens 5 priemgetallen. In 2012 kon Terence Tao dit bewijzen zonder de Riemann-hypothese. In 2012 en 2013 wist een Peruviaanse wiskundige het zwakke vermoeden zelfs te bewijzen voor alle oneven gehele getallen groter dan 1030 (zie 5.2).[ ]

Het sterke vermoeden van Goldbach
Zoals reeds aangehaald is, is het nog veel moeilijker om het sterke vermoeden te bewijzen dan het zwakke vermoeden. Toch bleef het onderzoek naar deze stelling niet ongeroerd, zoals blijkt uit volgende samenvatting.

In 1930 bewees Lev Schnirelmann dat elk natuurlijk getal groter dan 1 geschreven kan worden als een som van niet meer dan C priemgetallen, waarbij C een berekenbare constante is. Schnirelmann’s constante is het kleinste getal C bij deze eigenschap. Schnirelmann verkreeg zelf C < 800.000. Dit resultaat werd vervolgens verbeterd door meerdere auteurs. Tegenwoordig is het bekendste resultaat verkregen door Olivier Ramar??, die in 1995 aantoonde dat elk even getal n ' 4 in feite een som is van ten hoogste 6 priemgetallen. Linnik bewees in 1951 het bestaan van een constante K zodanig dat elk voldoende groot even getal een som is van twee priemgetallen en maximum K machten van 2. Roger Heath-Brown en Jan-Christoph Schlage-Puchta ontdekten in 2002 dat Linnik's stelling klopt, als K = 13. Dit werd verbeterd tot K = 8 door Pintz en Ruzsa in 2003. Chen Jingrun toonde in 1973 aan dat elk voldoende groot even getal geschreven kan worden als een som van ofwel twee priemgetallen, of van een priemgetal en een semipriemgetal, dat het product van twee priemgetallen is (zie 3.4). In 1975, toonden Hugh Montgomery en Robert Charles Vaughan aan dat de meeste even getallen geschreven konden worden als een som van twee priemgetallen. Specifieker toonden ze aan dat er positieve constanten c en C bestonden, zodat voor alle voldoende grote getallen N, elk even getal kleiner dan N een som is van twee priemgetallen, met hoogstens "C" '" ' N" '^"1 - c" uitzonderingen.[ ] Chronologisch overzicht De onderstaande tabel geeft een chronologisch overzicht van het wiskundig onderzoek en de vorderingen van verschillende wiskundigen omtrent het vermoeden. De tabel werd gehaald van (Conjecture de Goldbach, 2014). Jaartal Auteurs Theorie 1920 Viggo Brun Elk even geheel getal, dat groot genoeg is, is een som van twee gehele getallen, die elk bestaan uit maximum 9 priemfactoren. 1923 Hardy en Littlewood Als men een veralgemeende versie van de Riemann-hypothese veronderstelt, dan is elk oneven getal, dat groot genoeg is, gelijk aan een som van 3 priemgetallen. 1924 Hans Rademacher Elk voldoende groot, even, geheel getal is een som van 2 gehele getallen, die elk bestaan uit maximum 7 priemfactoren. 1931 Lev Schnirelmann Elk geheel getal groter dan 1 is een som van maximum 20 priemgetallen. 1937 Ivan Vinogradov Elk voldoende groot, oneven, geheel getal is een som van 3 priemgetallen. Gevolg: elk voldoende groot, even, geheel getal is een som van 4 priemgetallen. 1937 Nikola?? Chudakov Bijna alle even, gehele getallen zijn een som van 2 priemgetallen. 1938 Johannes van der Corput 1938 Theodore Estermann 1947 Alf??d R??nvi Er bestaat een constante K, zodat elk even, geheel getal een som is van een priemgetal en een getal, dat maximum K priemfactoren heeft. 1951 Yuri Linnik Er bestaat een constante K, zodat elk voldoende groot, even, geheel getal een som is van 2 priemgetallen en maximum K machten van 2. 1966 Chen Jingrun Elk voldoende groot, even getal is een som van een priemgetal en een getal dat maximum 2 priemfactoren heeft. 1975 Hugh Montgomery & Robert C. Vaughan Het merendeel van de even, gehele getallen is een som van 2 priemgetallen. 1995 Olivier Ramar?? Elk even, geheel getal is een som van maximum 6 priemgetallen. Gevolg : elk oneven, geheel getal is een som van maximum 7 priemgetallen. 1997 Jean-Marc Deshouillers, Gove Effinger, Herman te Riele, Dimitri Zinoviev De veralgemeende Riemann-hypothese impliceert het zwakke vermoeden van Goldbach. 2002 Roger Heath-Brown & Jan-Christoph Schlage-Puchta Linnik's resultaat (zie 1951) geldt als K = 13. 2003 J??nos Pintz & Imre Z. Ruzsa Linnik's resultaat geldt als K = 8. 2012 Terence Tao Elk oneven geheel getal groter dan 1 is een som van maximum 5 priemgetallen. Gevolg: resultaat van Olivier Ramar?? (zie 1995). 2013 Harald Helfgott Elk oneven geheel getal groter dan 5 is een som van 3 priemgetallen. Gevolg: resultaat van Terence Tao (zie 2012). ' Resultaten Gecontroleerde resultaten Ondanks de simpliciteit van de uitspraak, is nog niemand erin geslaagd een bewijs te leveren voor het sterke Goldbachvermoeden. Aangezien een bewijs voorlopig dus nog te ambitieus is, werd een andere methode ingevoerd om de juistheid van het vermoeden te testen. Zo probeerde men na te gaan of er geen tegenvoorbeeld te vinden is dat het vermoeden tegenspreekt. In 1938 controleerde Nils Pipping moeizaam de stelling voor n ' 105. Met de komst van computers, konden heel wat meer waarden van n gecheckt worden. Op 5 juni 2006 had T. Oliveira e Silva de theorie aangetoond voor alle even getallen tot 4 x 1018. Een tegenvoorbeeld werd dus tot nog toe niet gevonden. Later werd het vermoeden gecheckt voor nog grotere waarden tot 1030.[ ][ ] Het zwakke Goldbachvermoeden Ondanks de weinig hoopvolle gedachte dat het te hoog gegrepen is om een bewijs te formuleren voor het zwakke vermoeden van Goldbach, is het iemand toch gelukt. Na 227 jaar is deze stelling bewezen door een wiskundige van het ??cole Normale-Sup??rieure te Parijs. Het zwakke vermoeden leverde op arXiv[ ] een publicatie op van maar liefst 133 pagina's. Het bewijs werd gepubliceerd door H. A. Helfgott, een Peruviaanse wiskundige. Het bewijs toont aan dat de stelling klopt voor alle oneven getallen groter dan 1030. Dat is voldoende, omdat volgens Helfgott, de stelling met computers reeds gecheckt is voor alle getallen kleiner dan 1030. Natuurlijk is Helfgott's bewijs veel beter dan een computerberekening, omdat het geldt voor ??lle getallen, tot in het oneindige. Dit is jammer genoeg slechts een bewijs voor het zwakke Goldbachvermoeden. Het sterke Goldbachvermoeden blijft onbewezen. Als het sterke vermoeden bewezen is, dan volgt het zwakke vermoeden door implicatie. Helaas werkt dit niet in de andere richting. Een bewijs voor het zwakke vermoeden kwam vorige jaren steeds dichterbij. Terence Tao was het al gelukt om te bewijzen dat elk oneven getal geschreven kan worden als een som van vijf priemgetallen. Nu is het H. A. Helfgott gelukt om het vermoeden te bewijzen voor drie priemgetallen.[ ] 'Bewijzen' In april 2007 verscheen een artikel op internet, waarin werd aangehaald dat een Indische wiskundige, genaamd Bichitra Kalita het Goldbachvermoeden zou hebben bewezen. Het bericht heeft weinig navolging gekregen. Een teken dat het waarschijnlijk valse informatie was. Het gebeurt vaker dat bepaalde personen denken een vast bewijs te hebben voor een bekend vermoeden. Hun bewijs blijkt meestal echter allesbehalve nuttig te zijn.[ ] Besluit Hoe ver staan wiskundigen met het bewijzen van het vermoeden van Goldbach, is de vraag waarrond dit werkstuk draait. Het is een vrij voor de hand liggende vraag, maar het antwoord ligt moeilijker. Het is duidelijk dat een bewijs nog steeds niet gevonden is en dat het in de toekomst misschien zelfs onmogelijk is er een te vinden. De kern van de zaak zijn de priemgetallen, een begrip dat al eeuwenlang in een waas van mysterie gehuld is. De rij van priemgetallen blijft onbegrepen en zal mogelijk zelfs nooit begrepen worden. De resultaten die tot nu toe op dit vlak geboekt zijn, zijn de benaderingen van deze rij, die steeds juister, maar niet volledig correct zijn. Het feit dat de priemgetallen niet goed begrepen worden, is waarschijnlijk ook de reden waarom het vermoeden nog niet bewezen is. Daarnaast zijn wel wiskundige argumenten aangehaald, die het vermoeden rechtvaardigen voor voldoende grote waarden. Hoe groter de getallen, hoe meer mogelijkheden er zijn om dit getal te schrijven als een som van getallen en hoe waarschijnlijker het wordt dat er ook een som tussen zit, die volledig bestaat uit priemgetallen. Hoe dan ook, het bewijs ligt in de handen van de wiskundigen en het blijkt dat ze het vermoeden niet laten rusten. Verschillende wiskundigen zijn er reeds in geslaagd formules op te stellen en deze te bewijzen. Zo zijn stellingen als de Chen-stelling en de stelling van Vinogradov al bewezen en hebben ze laten zien dat ze onmisbaar zijn in het toekomstige bewijs. Naast het theoretische puzzelwerk van de wiskundigen heeft de informatica ook geprobeerd iets bij te brengen tot het vermoeden. De computerchecks zijn enkel tot de conclusie gekomen dat het vermoeden juist is voor waarden tot 1030. De hoop kan beter niet gevestigd worden op het zoeken van een tegenvoorbeeld, want dit lijkt onbegonnen werk. Maar het theoretische werk blijkt wel resultaten op te leveren. Het zwakke vermoeden van Goldbach is uiteindelijk toch bewezen en geeft nieuwe moed. Daarentegen mag allesbehalve op lauweren gerust worden. De belangrijkste stelling, het sterke vermoeden, blijft onbewezen. Al met al is het duidelijk dat de wiskunde nu en dan een vage, onbegrijpelijke warboel kan zijn, die soms zelfs te complex is voor een mens om te begrijpen. Als besluit kan ik enkel stellen dat een wiskundig bewijs voor deze stelling voorlopig nog niet mogelijk is. De belangrijkste pijlers van het vermoeden zijn nog niet eens half zo goed begrepen als nodig is. De resultaten die geboekt zijn, kunnen slechts een illusie van vooruitgang zijn. Toch denk ik dat een bewijs voor het vermoeden mogelijk is. Een wiskundige ziet het glas halfvol. Vele wiskundige stellingen bleven jaren, soms zelfs eeuwen, onbewezen en zijn uiteindelijk toch aangetoond. Wellicht is dit slechts kinderlijke na??viteit, maar het geeft wiskundigen hoop in hun zoektocht. En misschien komt iemand na een maand, een jaar toch aandraven met een bewijs. De wiskunde sluit deze kans alleszins niet uit. Het enige dat wel zeker is, is dat Goldbach in zijn tijd denkelijk niet wist dat zijn vermoeden '?n van de grootste mysteries in de wiskunde zou worden. Bibliografie Boeken Bellos, A. (2010). Getallen ontraadseld, alles wat je moet weten over wiskunde. Utrecht/Antwerpen: Kosmos Uitgevers B.V. van den Brandhof, A., van der Veen, R., van de Craats, J., & Koren, B. (2012). De zeven grootste raadsels van de wiskunde. Amsterdam: Uitgeverij Bert Bakker. Glaeser, G., & Polthier, K. (2012). Wiskunde in beeld. Uitgeverij Veen Magazines BV. Internetbronnen Buijtendijk, F. e. (2014, oktober 28). Goldbach. Opgeroepen op januari 2, 2015, van math4all: http://www.math4all.nl/website/view.php?page=geschiedenis/wiskundigen/goldbach
Caldwell, C. K. (sd). How Many Primes Are There? Opgeroepen op maart 8, 2015, van The Prime Pages: https://primes.utm.edu/howmany.html
Conjecture de Goldbach. (2014, december 20). Opgeroepen op januari 2, 2015, van Wikipedia: http://fr.wikipedia.org/w/index.php?title=Conjecture_de_Goldbach&oldid=110113064
Goldbach’s conjecture. (2014, december 28). Opgeroepen op januari 2, 2015, van Wikipedia: http://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Goldbach%27s_conjecture&oldid=639882618
Goldbach’s weak conjecture. (2015, februari 2). Opgehaald van Wikipedia: http://en.wikipedia.org/wiki/Goldbach%27s_weak_conjecture
Gross, R. (2014, maart 4). A short note on large numbers. Opgehaald van Sarcastic Resonance: https://sarcasticresonance.wordpress.com/2014/03/04/a-short-note-on-large-numbers/
Mathematics. (2010, april 23). Het vermoeden van Goldbach. Opgehaald van InfoNu: http://wetenschap.infonu.nl/wiskunde/53361-het-vermoeden-van-goldbach.html
Priemgetal. (2014, december 22). Opgeroepen op januari 2, 2015, van Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Priemgetal&oldid=42807196
Priemgetalstelling. (2014, augustus 31). Opgehaald van Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Priemgetalstelling&oldid=41992705
Priemgetal-telfunctie. (2014, september 10). Opgehaald van wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Priemgetal-telfunctie
Riemann-hypothese. (2015, januari 6). Opgehaald van wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Riemann-hypothese#Gevolgen_van_de_Riemann-hypothese
Seijlhouwer, M. (2013, mei 31). Oneven Goldbach-vermoeden opgelost. Opgehaald van Kennislink.nl: http://www.kennislink.nl/publicaties/oneven-goldbach-vermoeden-opgelost
Sieve of Eratosthenes. (sd). Opgeroepen op maart 3, 2015, van algolist: http://www.algolist.net/Algorithms/Number_theoretic/Sieve_of_Eratosthenes
Stelling van Chen. (2014, december 16). Opgehaald van Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Chen
Stelling van Vinogradov. (2014, december 6). Opgehaald van Wikipedia: http://nl.wikipedia.org/wiki/Stelling_van_Vinogradov
van den Brandhof, A., & van de Craats, J. (2007, april 27). Goldbach-vermoeden: een stap verder? Opgehaald van Kennislink: http://www.kennislink.nl/publicaties/goldbach-vermoeden-een-stap-verder
van den Brandhof, A., & van de Craats, J. (2007, januari 18). Nieuwe priemtweeling ontdekt. Opgehaald van kennislink: http://www.kennislink.nl/publicaties/nieuwe-priemtweeling-ontdekt
Vermoeden van Goldbach. (2014, augustus 30). Opgeroepen op januari 2, 2015, van Wikipedia: nl.wikipedia.org/w/index.php?title=Vermoeden_van_Goldbach&oldid=41972365

‘
Reflectie
Een eindwerk schrijven is een moeilijke opgave, maar ook ‘?n die je verder helpt en later nuttig kan zijn. Een student moet ook thesissen en essays kunnen schrijven. Dat is de conclusie die ik kan trekken uit dit werkstuk. Het vergt veel werk en inzet om het tot een goed einde te brengen. De leerkrachten hadden reeds vermeld dat een leerling normaal 20 tot 25 uur moet besteden aan zijn eindwerk en ik ben er achter gekomen dat ze gelijk hadden.

Hetgeen ik het moeilijkste aan deze taak vond, was het herschrijven van de bronnen naar een overzichtelijke tekst met een duidelijke structuur. Sommige bronnen zijn qua taalgebruik en opbouw zo verschillend dat het moeilijk is om het geheel te kunnen zien.

Dankzij het eindwerk heb ik vooral geleerd hoe belangrijk bronvermeldingen zijn. Plagiaat wordt in de huidige maatschappij niet geduld en dat is maar al te logisch. Het aanhalen van de bronnen in de tekst was dan ook een belangrijk onderdeel van het werk.

Een eindwerk schrijven kan soms frustrerend zijn. Je moet uit het niets beginnen. Je hebt enkel een lege pagina, een idee en een hoop vraagtekens. Ik vond het alleszins een hele ervaring om zelf iets te schrijven over een onderwerp dat me bezighoudt.